新学期已开启,一个经久亘古的话题:大学数学到底怎样学?两年前写的一篇旧文(由数学领域权威学术组织《中国数学会》转载),可拿来一看。


【大学本科阶段,数学类课程是许多学生所“惧怕”的。这篇文章谈一谈相关大学数学的若干问题,会分析“为什么会惧怕,如何不惧怕”。阅读完本文大约需要20分钟。】

大学本科阶段,除了部分文科专业的学生,基本都要学一些数学课程,比如微积分、高等数学、数学分析等等。讲过数学课的老师,也大多会听到学生的一句诙谐话:“老师,我被挂在高树上,都有恐高症了”。指的就是“高等数学(高树)”课程挂科了,以至于害怕高数(恐高)。确实,每个学期都有很多学生问:老师,我的高中数学很好啊,进入大学怎么就学不好,数学到底要怎样学呢?这个问题着实不容易回答,如果时间有限,我通常只会说“你不要轻易怀疑自己的数学能力”。今天要谈的话题就是由“恐高症”出发,来分析“为什么怕数学、怎样学数学”。这篇文章涉及的许多观点是本人主观意愿的结果。

一、学数学需要天赋吗

不可否认,那些伟大的数学家们,如欧拉、高斯、柯西、黎曼、嘉当、陈省身等,都是有很高天赋的,毕竟所做的贡献极其伟大,甚至可以说很多的工作具有开天辟地的意义。但是这并不意味着,学好(大学)数学就一定要有很好的天赋。要讲清楚这点,不妨先看看我国与教育发达国家的教育模式的不同(普民教育与精英教育),从中或许看出我们的模式下,学生所学的“东西”可能偏离了其本来的面目,谈“天赋”又有何用。

1. 普民教育与精英教育

我认为至今我国大部分高校进行的还是“普民教育”(普及大众),至少还没有到达像一些欧美国家那样的“精英教育”层次。所谓精英教育,我理解成为:主要关注那些具有成为“社会精英”潜质人才的教育,将来这些人是引领国家前进的中流砥柱,包括政治精英、科学精英等。至于其他的人,在这些国家中,是不会被给予高望的,不会管你何去何从,这个社会只会由那些精英们所主导。所以这样国家的教育环境下,许多学生觉得非常地“自由”(这也成为,许多不“知情”的中国家长送孩子去美国选择如此“自由”发展的重要原因),甚至可以不学习,毕业后找个修水工的工作也大有人在(中国的大学生毕业不可能接受吧,而会想着你是精英凭什么我不是,这就是后面要谈到的“平等”观念)。可要知道,那些具有“精英”潜质的少数学生,会无比地投入学习、抓住各种机会提升自己,在师长的帮助下,甚至可以选择自己的兴趣爱好作为毕生的事业,如此才成就了主导精英——主导社会发展方向的政治人才与科学大师。

而我国目前环境下,还是停留在“平等”的概念上,认为各位大学生都是一样“优秀的”、同样都是国家的未来。我国就读大学的人口基数又大,一致地实施精英培养模式不够现实。而且,目前我国社会“精英”人士是五花八门的,我们的政治精英、科学精英还未必是“主导精英”(这是我国目前发展阶段的必然结果。改开四十年中一直围绕“经济建设为中心”,对国家经济做了“直接贡献”的人——比如房地产大佬们,其“精英”排位自然占优,还未轮上有政治家/科学家潜质的那类人群),甚至我们的政治精英未必是有良好科学素养或受过良好教育的(为什么美国精英人士,包含众多的科学家,反对特朗普上任?因为他们眼里的特朗普是一个商业界的忽悠,而欧巴马、希拉里是有着良好教育背景与科学素养的政治精英),当然国内这种情况也是越来越趋好,最高学历不再是在中央党校完成的。因此,在如此背景下,我们还不能真正全面地在大学里实行“精英教育”,还得继续一种“平等”的“普民教育”。如此一来,高校部门要照顾总体的大学生们,落到细节就是教师的讲课与考试,都要照顾到绝大部分学生,不能讲得太深或考得太难。进一步地,许多课程比如数学课程,其真正“面目”根本就得不到展示的机会,大家所学的数学不再有“数学味”,毫不夸张地讲,有的学生学的都是“假的数学”。即便你很有天赋,但未必就能得以发挥。

其实,相关的部门也意识到这些问题,比如近几年来各大院校提倡的“分类分层”教学、教育部门注重职业技术学院的发展,当然这是好的一面。但是否真的能够实施到位,或实施过程当中遇到的问题如何得以解决,想必这些才是后续中最重要的。

有了上述“教育层次模式异同”的前提认识,我们可以具体地分析“学数学到底要不要天赋”,如下。

2. 尚未达到需要天赋的地步

首先,作为更大众的普通人之一,你(尤其是低年级学生)进入大学所学的数学,只是数学领域的最基础部分(内容),而且是循序渐进地学下去;最开始的学习只要求对中学数学(比如什么是函数、向量等)有印象便可,从内容结构来看,甚至可以说几乎是“零基础”要求(事实上国内绝大多数的中学学习是应试+题海战术)。还远没有到“要依靠天赋才可以进行下去学好数学”的地步,除非到了考虑是否将来以数学为事业的境地。

3.可能只是一种“排斥”的惯性使然

其次,能够考入大学本科,绝大多数情况下是不用怀疑自己的脑瓜子天生学不好数学,身边的同学“聪明”程度大多数也和自己差不多。当然有一种情况是可能存在的:受到中学严重“弱科”的影响,以至于已经形成了排斥数学的惯性认识。好比我在中学就严重不喜爱文科课程,大学若要让我去学中国语言文学专业,恐怕也是难以找到切入点。但我还是认为在大学阶段,这个惯性是可以逐渐被扭转过来的,比如我会首先接受、不再主动排斥它,列出学好它的一些必要条件,再逐一地努力寻找到可行的科学或专业方法,如果不要求在此专业上有很高建树的话,相信会找到破解“学不好”这一难题。

4. 所学的是普及课程而已

再者,大学里所学的数学课程,尤其是非数学专业开设的数学课基本都是“数学知识普及”课,离数学的核心还有一万光年。可即便是数学专业的数学课程,如果没有学习过实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学基础、微分几何的话,基本等同于对数学“尚未入门”,那是远远谈不上需要“天赋”的。这其实就是前面所说的,数学的真正“面目”根本还没有得到展示。

5. 大学数学与中学数学完全不是一回事

还有一点,不要认为自己在中学阶段学不好数学,大学里就一定学不好。大学的数学课程与中学里的数学课程是完全不同level的事情,比如高中要求掌握极限的计算、导数/积分怎么求,大学里则重在理解何为极限、导数/积分的背景与含义是什么。这也是为什么前文所说的大学数学几乎是“‘零基础’要求”。既然是近零基础开始,加上“还没有到达需要天赋的地步”,所以不要去想“我没有天赋,怎么学都不会”。

最后,总结为一句话:天赋固然会对学习有一定的影响,但在目前我们的大环境与要求下,还尚未到达需要一定天赋才能够学好大学里的数学。

那么到底为什么没有学好大学数学课程,或怎样才能学好数学呢?我认为,这主要由两大类因素导致:对数学(学习)的认识不够清晰,数学学习的方式方法不对。如果要真正解决这些问题,我感觉到要思考三个问题:什么是数学?为什么要学数学?怎样学数学?即便是没有唯一准确的答案。

二、什么是数学

逻辑上讲,要学好数学,自然要先认识它,要去多思考数学的本质是什么,尽管你可能想不出什么结果。

什么是数学?这个恐怕只有数学史专家才能够很好地回答,当然也绝不是一两句话能够说得清的。但并不影响我们去思考这个问题(想认识数学就必须要思考这一问题),而且我们能够认识哪怕一小部分,就足以扫除大学里学习数学的许多障碍。我想数学的本质特征可以这样去描述:数学是一门科学的学科,来源于生活实践而又超越实际的可公理化、高度严谨、缜密和抽象客观的自然学科,体现为人类思维的表达形式和简洁的逻辑语言。逻辑和直观、分析和推理、共性和个性,构成数学的基本要素。

作为初涉大学数学课程的学生,可以抓住几个关键词:源于实际、逻辑语言、思维表达、严谨抽象。推荐一本书:“What is the Mathematics(什么是数学)”(作者R.Courant,有中译版)。

三、为什么要学数学

1. 满足“社会生活对数学日益增长”的需求

事实上,我们每一个人无时无刻不在“享受着数学带来的生活便利”。当你使用手机打电话时,是在享用信号处理技术带来的成果,而这个信号处理技术要用到如傅里叶变换、滤波方程、谱分析等;你的手机之所以可以设置个人密码,也是要用到数论和离散数学。飞机能平稳着陆、导弹能命中目标、当前的AI和大数据时代,无不用到数学。既然社会生活越来越涉及数学,作为具有社会属性的人类,要参与社会活动,自然多多少少要“学点数学”。

2. 思维逻辑、抽象能力的训练与培养

数学是一门科学的学科,而科学源于形式逻辑体系,发展了辩证逻辑,不仅研究认识的知性规律更研究其理性规律。学习数学便是对思维逻辑的一种训练,能够对某事物或现象经过严密的逻辑推理对其做出理性判断。学习数学,可以早一点认识到逻辑的重要性,提高逻辑分析能力。

数学虽源于生产生活,却远超越实践而高度抽离出来形成的一门严谨而简洁的科学学科,基于公理化体系,从概念出发。自然地数学便具有一定的抽象性。通过数学的学习,可以培养自身的抽象理解能力、发现问题和解决问题的能力。

3. 几个例子

如果我们能够接受一点正规的数学训练,就不会犯一些逻辑性的错误;或者说,没有经受过正规的科学训练,很可能容易出现一些“逻辑不通”的表达(如例一)。同时,有了正规的训练,我们还可以解释实际生活中的一些“悖论”(如例二)。

**例一、**从微博上找了两张出现逻辑问题的内容截图(“头条新闻”与“环球时报”可是影响力巨大的媒体啊。事实上,每次浏览新闻都会发现此类现象)

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上张截图说的是“只有和平久了繁荣普遍了,......,几个俊男靓女才会突然间拥有万人空巷的力量(即小鲜肉有市场)”。由此自然可以得出:“小鲜肉有市场,证明社会是和平繁荣的”一结论。可实际上,小鲜肉们有了市场,社会就真的一定会是和平繁荣已久吗?事实上,我国的小鲜肉们市场已是巨大(这个是不争事实),可我们的社会并不是和平繁荣已久的。所以,这个小编写下这段文字时,是没有经过逻辑思考的。

至于第二张截图上的内容,那位查了维基的网友,显然还是搞不懂基本逻辑条件“充分与必要”为何。因此才有人说其“要从小学学起”(或许其真的是小学生吧)。

例二、一个“悖论”

我曾在课堂上问过学生这个“会不会饿死”的问题:下课后,你要从教室去食堂吃饭。途中,会经过教室至食堂距离的中点(即1/2距离);再想,从教室至这个中点,你同样也要经过一次中点(即1/4距离);如此下去,你要经过无数次这样的“中点”,才会最终到达食堂。抛开实际生活常识,这是不是意味着“既然要经过无穷次的中点,才可以到达食堂,那就永远到达不了食堂,从而吃不了饭”?然而回过神来想想自己并没有到达不了食堂。那这是不是一个悖论呢?其实,懂得了极限(或学过级数)的人,这个所谓的“悖论”自然就不攻自破。

例三、最后,看一个并不真实但有趣的故事

“老板分别给了工程师、物理学家、数学家一桶油漆,让他们将墙涂满。过了一会,老板走进工程师的房子里发现只有一面墙被涂了漆,工程师说:我涂完才发现油漆不够用!老板又走进物理学家的房子看,发现什么都没涂,物理学家说:我计算了一下,发现油漆不够用就没涂了。最后老板走进数学家的房间一看,发现墙全被涂满了油漆,而且桶里的油漆竟然一点没少!老板很惊讶,问数学家怎么回事。数学家答道:很简单,我只涂了平面上所有的有理点坐标!”

这个故事关键在于那位数学家说的“只涂了有理点”。事实上,懂得“实数结构”的人就明白其中的含义:实数集由有理数与无理数构成,实数的“个数”与无理数的“个数”是一致的,而有理数与无理数又都是“稠密”的,有理数集是可数的“零测集”(有理数“个数”与自然数“个数”一致)。正是因为那位数学家懂得“有理数集为‘零测集’”,才能做到“将墙漆满,且剩下的涂料一点没少”。

四、怎样学数学

知道了一点“什么是数学”、“为什么要学数学”,接下来就可以思考“怎样学数学”。

1. 同中学时代学习数学的方式方法说“Bye”

国内中学阶段的学习,其目的基本是唯一的——为了高考考得高分,所以学习任何科目都是“应试”的方式。对于数学学习甚至都有“记住、背下来”的情况。然而,真正的数学是不需要“记”的,包括公式也是不需要“记住”的。进入大学学习数学,要彻底和中学的“记、做题、题海术”说再见!因为正如第一节所述,大学学数学的本真目的是“培养”能力,不是为了如何拿到“高分”。

2. 正确的学习方法

大学中的数学学习,怎样才是正确的打开方式呢?

(1)知晓框架

开始接触某门课程时,要先对其整体内容框架做个了解,大致知道要学的知识由哪些部分构成。这就是所谓的学习三部曲——“薄读-厚读-薄读”之首曲。

(2)了解背景

每个知识内容都要知道它的背景是什么(这个一定要知道!)。只有这样,你才可能懂得为什么需要学习这样的知识,前辈们是为了解决什么问题才开始了这样的研究,中间遇到过什么问题,又是怎么解决的。要不然,你去看看牛顿-莱布尼茨如何最终创立出微积分。无论如何,必须要知道所要学习知识的背景,如果老师没来得及讲,一定要问老师!否则你依然会掉进中学的“只会做题”的深渊,从此不可能再识得数学“庐山真面目”!

(3)研究概念

有了框架与背景的认识,才可以进入学习知识内容的阶段,此阶段最为重要的是对概念的理解,一定要进行反反复复的各个角度的理解。这是因为,概念即为根源,接下来要学的知识点都是源于这一概念。事实上,对许多的概念甚至要研究十遍以上方可获知一二。每年招收研究生面试时,我都会问一个极限的概念,有面试生能够写出极限定义,但很少有能够给出到位的解释。许多学生有这样的感觉:“我会计算非常复杂的数列极限,可根本不知道这个数列收敛该极限值的含义”,这正是因为忽视了对概念的理解。记住,学习某一具体内容,第一步要做的是去研究其中的概念。

(4)重视证明少做计算题

少做计算题,出于两点考虑:一是可以腾出时间思考证明题;二是,经常做计算题会造成“我懂了这个知识点”的错觉。

会做计算题只说明你的“算术”高明,这是中学时代的产物,而大学里数学的本质是“培养”思考推理分析能力的(当然现在大学中,各种因素还是导致“唯分数论”,所以考题还是计算题居多。这个原因在第一节中谈过)。而证明题正可以起到这一作用,包括书本中的命题与定理及课后的证明题。所以,要多思考解决证明题,否则还是会出现“同一题型,换了数字或条件就不会做了”的情况。可以将做计算题的时间,用来思考与证明课本中的定理和相关结论。

(5)少背记多推导

中学时代,光三角函数那些公式就让学生们记得很揪心。进入大学之后,你才发现,原来这些公式真的无需记住,是可以很快推导出来的呀!同样,大学中的许多数学公式除了基本的运算规则需要记住,其它的基本也是不需要记忆的,当你理解到位了,很快在心里就能推导出来,这样得到的公式才是属于自己的,永远不会忘记。特别地,对于概念性的描述,更不能靠记住,理解才是王道。比如数列极限的“e-N语言”,其实由两部分组成:结论部分“xn收敛于a”,条件部分“n充分大”。作为初学者是可以理解到这样的程度:它意味着“xn与a的距离,在n充分大的条件下,比任何一个小的正数还要小,才叫做xn会无限接近a”,再用数学语言翻译过来即为“对任意的e>0,存在很大的数N,当n>N时(表明‘充分大’的条件),会有|xn-a|<e(表明‘xn收敛于a’的结论)”。这样理解不要去记住它,才不会将“e与N的顺序、任意性与存在性”搞反。数学不是计算,更不是背和记。

补充三点:

**(6)**很多学生喜欢去做吉米多维奇那本书,对于初学者来说可以适当做一些便于加深对知识的理解。但要注意到,这本书基本是解题套路,限制条条框框了,不建议多做。

**(7)**关于做题,我的建议是:多证明书本上的性质、定理和课后证明题,少做计算题。可以将概念和定义抄到笔记本上反复研读,还将定理与较难的性质及课后的证明题,都抄下来自己去思考并给出证明。(感谢我的大学老师们!)

**(8)**以上仅针对想要感受数学本质的人,事实上很多学校和专业的数学课程要求只是“你会做题即可”,考题也是计算题居多。所以造成了学生“指导”老师“多讲计算题,考试不要出证明题”的局面。这个结果不是学生造成的,学生是不明真相的受害者。

3. 教材的选择问题

国内大学的数学教材风格大都沿用前苏联体系,经过自行加工而成。有不少的好书,但更多的在我看来,很像一本数学手册(宝典),这是初学者最喜欢但又是最致命的一点。煮个栗子,考研数学辅导书就是这样的特点,考研的学生是不是人手一本?可是致命的现象出现了:你的数学考研成绩很高,可是进来读研了却连极限的概念都说不清。

再想想使用最为广泛的同济大学的“高等数学”,是不是有这样的感觉?给读者罗列出数学公式(让你背和记住),例题和习题都是一堆堆的计算(似乎要将读者训练成为计算工具)。我对此“高等数学”教材的评价基本是“只见树木不见森林的手册书”。你会说这只是高等数学不是数学分析啊,我是承认数学领域存在巨大差距的(比如,应用数学和纯粹数学的差距),但前面我也说过,数学书就应该要有一点数学的灵魂在,至少要有利于让读者学会如何发现问题并解决问题,而不是在一片森林里面对一颗事先选定的树木,给你演示“这是树的皮那是树的毛”。

我是无法给出国内的哪本数学书属最好的,比如“数学分析”,我读过的就有华东师大(难度中上条理不够清晰简明)、复旦欧阳(简单但清晰)、北大张筑生(深多细致)、中科大史济怀(比较清晰有些跳跃),各有千秋,不同的人评价不一。相信每个学校和专业都会选择与其匹配的合适教材。当然也可以结合国外的一看,比如数学分析你就看Rudin和Zorich的,简洁明了。

4. 是否“很好地理解了所学”的评判标准

我认为有三个递进的标准:一是,你是否懂了老师的所讲;二是,你是否讲得出来;最后,你来讲的话,听众是否能听得明白(这一点很难)。

5. 关于选课

如果没有一定的基础,建议不要为了“高大上”而去选修高大上的课程。比如,你的数学分析都没有学扎实,就不要去选泛函分析或点集拓扑。另外,反对学生去选修一些无思想的“工具类”课程,比如像一些“傻瓜”软件(如Matlab)课程。这些无思想的工具类课程,只具有实践性功能。不妨结合具体的应用问题,边学这些工具边将其具体使用于解决问题,如此才可以事半功倍。

五、数学领域的再认识

如果以上所有文字你都读过,并思考过有所感觉了,现在可以说一说数学大类的区别,进一步了解整个数学学科是个什么“鬼”。

1. 认识一下数学领域的不同学科

我们常听说基础数学(纯粹数学)、应用数学、计算数学等等,其实这都是数学学科下面的二类学科名称,按照国家学科的分类,数学二级分类至少25种吧。我们只看看主要的分支:代数、几何、分析。以前看到过一篇帖子(据传是某大学教授的一个总结),其中的部分观点,我是赞同的。引用如下:

“正如大家所知,代数几何是现代数学的主流。当代大多数一流的数学家都工作在这一领域。因此如果你觉得自己天赋异禀,并在代数,几何与分析各方面都有着扎实的基础,我建议你绝不要浪费自己的天赋:应义无反顾的选择代数几何这一专业。

当然把代数,几何与分析这三门基础功课同时学好的人很少。比如有些同学有着很好的分析功底,但代数中的抽象思维能力却相对显得薄弱。如果是这样的话,我建议你选择分析方面的专业,比如:复分析,分形,调和分析或微分方程。

如果你代数和分析都不怎么样,可却在几何方面有着良好的感觉,要是这样的话,我建议你应和xxx老师好好探讨一下。让他帮你判断一下看自己是不是可以学习几何。

除以上三部分同学之外,还有这样的一部分同学:他们对代数,分析与几何都不擅长,但却一直坚信自己在数学上仍能有所作为,并幻想有朝一日成为中国数学界的中流砥柱。如果你属于这部分同学中的一位的话,我建议你选择动力系统。动力系统这一学科其实就是专门为这部分同学开设的。

当然即使是动力系统也不是人人都能学的。因为动力系统需要大量的微积分。可总有那么一部分同学还没来得及把极限的概念搞清楚就大学毕业了。如果你不巧就是这样的一位同学,也就是说你大学四年压根儿就没学数学,但仍希望自己将来能在数学上一展宏图的话,我建议你选择组合数学这一专业。这一专业的特点就是它只用到中学的数学。如果你在中学时参加过数学竞赛并获过奖项的话,这一学科正是你大展身手的地方。

我想大多数同学看到这儿之前已经找到了适合自己的专业了。可若仍有人羞怯的说他在中学时早恋,因此连中学的数学也没学好,我想告诉这部分同学不要怕。在我们系有专门为你们开设的一个专业:统计学。这一学科只要求懂得小学数学中的加减乘除四则运算就够了。更重要的是,选择这一专业的大多都是女同学。在你准确无误的把成千上万个数据加起来并娴熟的计算出他们的均值时,你也赢得了众多师姐师妹的芳心:短短三年的研究生生活或许能让你再次体会一次那如花美眷,似水流年的往事。

最后这一条是专门针对那些悲情人物的。他们连小学的数学也没学好。不要说把上千个数加起来,就是把两个数加起来,对他们来说都是件很吃力的事。然而这一切丝毫没有削弱他们对数学的一片痴情。他们日日夜夜泡在图书馆里。他们翻阅了所有的数学文献,却从未找到一本能读懂的。但他们仍坚持不懈,为的就是找到一个适合自己的专业。他们的行为感动了上帝。上世纪的某一天,上帝为他们创造了一台机器帮他们计算。这就是计算机。借助计算机,他们可以很快的进行加减乘除的运算。这就是计算数学。”

2. 金融数学的观点

作为与本人研究领域相关的“金融数学”专业,我想用一句话来表达自己的观点:“金融数学”实质上为“数学物理”专业的一个方向。

3. 一句扎心的话

关于大学本科阶段的数学,最后一句吃鸡的话:觉得数学“没用”,是因为我们学得太浅;觉得数学“难”,是因为我们太弱。