【今天看到一个很小但很重要的教学视频:https://b23.tv/BTepfy,讲授关于“Black-Scholes方程的推导”。虽然主讲老师并没有完全解决所提的问题(在9分40秒前后。确切地说,将“前两项和解释为零”是错误的),但依然足以值得推荐给学生学习】

每学期讲到“Black-Scholes方程(B-S PDE)”时,其推导过程中的一个关键处很容易就被学生忽略。这个关键之处是,方程证明过程中涉及到的形如以下一个推导环节:

X(t)=θ_1(t)S(t)+θ_2(t)V(t) => dX(t)=θ_1(t)dS(t)+θ_2(t)dV(t) -------(1)

其中系数θ(t)为t时刻持有股票S(t)与期权V(t)的份数,与时间t有关。

上式 (1) 的得来,不少学生很轻易地认为“理所当然”,而且许多相关书籍资料中,并没有严格证明。据查证,Black-Scholes方程的得来,在当时也是“轻易地”得到这一式(1)。以至于牛人Harrison在1979、1980年还专门写有论文说明这一问题。

N年前初入金融工程门槛,在看John Hull的书本时,觉得书中得到(1)式应是有问题的(即Hull书中f关于S的偏导保持不变)。当时自行推导无法消除其他四项(Ito公式计算),直到后来知晓此处的假设前提:自融资(self-financing condition; Harrison & Kreps, 1979),于是似懂非懂地“接受”了这一结果(式(1))。随着知识的累积,包括学习随机数学及阅读了经典教材Arbitrage Theory in Continuous Time by T. Bjork,便清楚并解决了这个“易于被忽视”的问题。

“前面提到的视频中未解决的问题”之原因

视频中的问题形如:让Δt—>0, Δθ(t) S(t)不能记作 S(t) dθ(t) ( Δθ(t)= θ(t)-θ(t-Δt))

原因:所有的积分(或微分)均在Ito意义下展开的,而此处的S(t)取值右端点,违背Ito积分意义。

对于随机数学基础不够的学生,如何去讲?

对于整个课堂的学生,我通常还是会在课堂中按以下惯常思路:通过离散化后,推导得到“自融资条件下的财富组合过程”;再将其连续化,便直接“得到”上式(1)(见下图)。但要指出这个“得到”还需要一定的转折:使用Ito积分含义,有兴趣的学生可参考资料(如 by Tomas Bjork)。

式(1)是一个特别重要的结果,没有它便不能严谨推导B-S方程,要知道这一式子的成立是“自融资”条件的结果。